If the solution of the equation log_ cosx( cotx)+4 log_ sinx( tanx)=1,x∈ (0, π 2) is sin^-1( α +√β 2), where α ,β are integers, then α +β is equal to:

Given:
${\mathrm{log}}_{\mathrm{cos}x}(\mathrm{cot}x)+4{\mathrm{log}}_{\mathrm{sin}x}(\mathrm{tan}x)=1,x\in (0,\frac{\pi }{2})$logcosx​(cotx)+4logsinx​(tanx)=1,x∈(0,2π​)
$\Rightarrow \frac{\mathrm{lncos}x-\mathrm{lnsin}x}{\mathrm{lncos}x}+4(\frac{\mathrm{lnsin}x-\mathrm{lncos}x}{\mathrm{lnsin}x})=1$⇒lncosxlncosx−lnsinx​+4(lnsinxlnsinx−lncosx​)=1
$\Rightarrow 1-(\frac{\mathrm{lnsin}x}{\mathrm{lncos}x})+4(1-\frac{\mathrm{lncos}x}{\mathrm{lnsin}x})=1$⇒1−(lncosxlnsinx​)+4(1−lnsinxlncosx​)=1
$\Rightarrow (\frac{\mathrm{lnsin}x}{\mathrm{lncos}x})+4(\frac{\mathrm{lncos}x}{\mathrm{lnsin}x})-4=0$⇒(lncosxlnsinx​)+4(lnsinxlncosx​)−4=0
$\Rightarrow (\mathrm{lnsin}x{)}^{2}-4(\mathrm{lnsin}x)(\mathrm{lncos}x)+4(\mathrm{lncos}x{)}^{2}=0$⇒(lnsinx)2−4(lnsinx)(lncosx)+4(lncosx)2=0
$\Rightarrow {(\mathrm{lnsin}x-2\mathrm{lncos}x)}^{2}=0$⇒(lnsinx−2lncosx)2=0
$\Rightarrow \mathrm{lnsin}x=2\mathrm{lncos}x$⇒lnsinx=2lncosx
$\Rightarrow \mathrm{lnsin}x={\mathrm{lncos}}^{2}x$⇒lnsinx=lncos2x
$\Rightarrow {\mathrm{cos}}^{2}x=\mathrm{sin}x$⇒cos2x=sinx
$\Rightarrow 1-{\mathrm{sin}}^{2}x=\mathrm{sin}x$⇒1−sin2x=sinx
$\Rightarrow {\mathrm{sin}}^{2}x+\mathrm{sin}x-1=0$⇒sin2x+sinx−1=0
$\Rightarrow \mathrm{sin}x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$⇒sinx=2−1+5​​
So, $\alpha =-1,\beta =5$α=−1,β=5
$\therefore \alpha +\beta =4$∴α+β=4