Let f:[1, ∞) →[2, ∞) be a differentiable function, If 10 ∫_1^ x f( t) dt=5 x f( x)- x^5-9 for all x ≥ 1, then the value of f(3) is :

$\begin{aligned}
& 10 \frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{dx}} \int_1^{\mathrm{x}} \mathrm{f}(\mathrm{t}) \mathrm{dt}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(5 \mathrm{xf}(\mathrm{x})-\mathrm{x}^5-9\right) \
& \Rightarrow 10 f(x)=5 f(x)+5 \mathrm{xf}^{\prime}(\mathrm{x})-5 \mathrm{x}^4 \
& \Rightarrow \mathrm{f}(\mathrm{x})+\mathrm{x}^4=\mathrm{xf}^{\prime}(\mathrm{x}) \
& \Rightarrow \mathrm{y}+\mathrm{x}^4=\mathrm{x} \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}} \
& \Rightarrow \frac{d y}{d x}+y\left(-\frac{1}{x}\right)=x^3 \
& \Rightarrow y e^{\int-\frac{1}{x} d x}=\int x^3 e^{\int-\frac{1}{x} d x}+c \
& \Rightarrow \mathrm{ye}^{-\operatorname{tn}|x|}=\int \mathrm{x}^3 \mathrm{e}^{-\operatorname{tr}|x|}+\mathrm{c} \
& \Rightarrow \frac{\mathrm{y}}{|\mathrm{x}|}=\int \frac{\mathrm{x}^3}{|\mathrm{x}|}+\mathrm{c} \
& \Rightarrow \frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}=\int \mathrm{x}^2+\mathrm{c} \
& \Rightarrow \frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{x}^3}{3}+\mathrm{c}
\end{aligned}$

Put $x=1$x=1 in given equation

$\begin{aligned}
& \Rightarrow 0=5 \mathrm{f}(1)-1-9 \Rightarrow \mathrm{f}(1)=2 \
& \Rightarrow \frac{2}{1}=\frac{1}{3}+\mathrm{c} \Rightarrow \mathrm{c}=\frac{5}{3} \
& \Rightarrow \frac{\mathrm{f}(3)}{3}=\frac{27}{3}+\frac{5}{3} \
& \Rightarrow \mathrm{f}(3)=32
\end{aligned}$