If lim _x → ∞ ( ( e 1- e ) ( 1 e- x 1+x ) )^x=α, then the value of log _ e α 1+log _ e α equals :

$$\begin{aligned} & \alpha=\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\left(\frac{\mathrm{e}}{1-\mathrm{e}}\right)\left(\frac{1}{\mathrm{e}}-\frac{\mathrm{x}}{1+\mathrm{x}}\right)\right)^{\mathrm{x}}\left(1^{\infty} \text { form }\right) \\ & \therefore \alpha=\mathrm{e}^{\mathrm{L}} \\ & \text { Where } \mathrm{L}=\lim _{x \rightarrow \infty} \mathrm{x}\left(\left(\frac{\mathrm{e}}{1-\mathrm{e}}\right)\left(\frac{1}{\mathrm{e}}-\frac{\mathrm{x}}{1+\mathrm{x}}\right)-1\right) \\ & \Rightarrow \mathrm{L}=\lim _{\mathrm{x} \rightarrow \infty}\left(\frac{\mathrm{e}}{1-\mathrm{e}}\right) \mathrm{x}\left(\frac{1}{\mathrm{e}}-\frac{\mathrm{x}}{1+\mathrm{x}}-\left(\frac{1-\mathrm{e}}{\mathrm{e}}\right)\right) \\ & \Rightarrow \mathrm{L}=\frac{\mathrm{e}}{1-\mathrm{e}} \lim _{\mathrm{x} \rightarrow \infty} \mathrm{x}\left(1-\frac{\mathrm{x}}{1+\mathrm{x}}\right) \\ & \Rightarrow \mathrm{L}=\frac{\mathrm{e}}{1-\mathrm{e}} \lim _{\mathrm{x} \rightarrow \infty} \frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}+1} \\ & \Rightarrow \mathrm{~L}=\frac{\mathrm{e}}{1-\mathrm{e}} \cdot 1 \\ & \Rightarrow \mathrm{~L}=\frac{\mathrm{e}}{1-\mathrm{e}} \\ & \therefore \alpha=\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{e}}{1-\mathrm{e}}} \Rightarrow \log \alpha=\frac{\mathrm{e}}{1-\mathrm{e}} \\ & \therefore \text { Required value }=\frac{\frac{\mathrm{e}}{1-\mathrm{e}}}{1+\frac{\mathrm{e}}{1-\mathrm{e}}}=\mathrm{e}\end{aligned}$$​α=x→∞lim​((1−ee​)(e1​−1+xx​))x(1∞ form )∴α=eL Where L=x→∞lim​x((1−ee​)(e1​−1+xx​)−1)⇒L=x→∞lim​(1−ee​)x(e1​−1+xx​−(e1−e​))⇒L=1−ee​x→∞lim​x(1−1+xx​)⇒L=1−ee​x→∞lim​x+1x​⇒ L=1−ee​⋅1⇒ L=1−ee​∴α=e1−ee​⇒logα=1−ee​∴ Required value =1+1−ee​1−ee​​=e​