∑ r = 1 ∞ n n 4 + r 4 − 2 n r 2 ( n 2 + r 2 ) n 4 + r 4 ∑ r = 1 ∞ 1 n 1 + ( r n ) 4 − 2 ( 1 n ) ( r n ) 2 ( 1 + ( r n ) 2 ) 1 + ( r n ) 4 ⇒ ∫ 0 1 d x 1 + x 4 − 2 x 2 d x ( 1 + x 2 ) 1 + x 4 ⇒ ∫ 0 1 1 − x 2 ( 1 + x 2 ) 1 + x 4 d x ⇒ ∫ 0 1 1 x 2 − 1 ( x + 1 x ) x 2 + 1 x 2 d x \displaystyle \begin{aligned} & \sum_{\mathrm{r}=1}^{\infty} \frac{\mathrm{n}}{\sqrt{\mathrm{n}^4+\mathrm{r}^4}}-\frac{2 \mathrm{nr}^2}{\left(\mathrm{n}^2+\mathrm{r}^2\right) \sqrt{\mathrm{n}^4+\mathrm{r}^4}} \\ & \sum_{\mathrm{r}=1}^{\infty} \frac{\frac{1}{\mathrm{n}}}{\sqrt{1+\left(\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{n}}\right)^4}}-\frac{2\left(\frac{1}{\mathrm{n}}\right)\left(\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{n}}\right)^2}{\left(1+\left(\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{n}}\right)^2\right) \sqrt{1+\left(\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{n}}\right)^4}} \\ & \Rightarrow \int_0^1 \frac{\mathrm{dx}}{\sqrt{1+\mathrm{x}^4}}-\frac{2 \mathrm{x}^2 \mathrm{dx}}{\left(1+\mathrm{x}^2\right) \sqrt{1+\mathrm{x}^4}} \\ & \Rightarrow \int_0^1 \frac{1-\mathrm{x}^2}{\left(1+\mathrm{x}^2\right) \sqrt{1+\mathrm{x}^4}} d x \\ & \Rightarrow \int_0^1 \frac{\frac{1}{\mathrm{x}^2}-1}{\left(\mathrm{x}+\frac{1}{\mathrm{x}}\right) \sqrt{\mathrm{x}^2+\frac{1}{\mathrm{x}^2}}} \mathrm{dx}\end{aligned} r = 1 ∑ ∞ n 4 + r 4 n − ( n 2 + r 2 ) n 4 + r 4 2 nr 2 r = 1 ∑ ∞ 1 + ( n r ) 4 n 1 − ( 1 + ( n r ) 2 ) 1 + ( n r ) 4 2 ( n 1 ) ( n r ) 2 ⇒ ∫ 0 1 1 + x 4 dx − ( 1 + x 2 ) 1 + x 4 2 x 2 dx ⇒ ∫ 0 1 ( 1 + x 2 ) 1 + x 4 1 − x 2 d x ⇒ ∫ 0 1 ( x + x 1 ) x 2 + x 2 1 x 2 1 − 1 dx ⇒ − ∫ 0 1 1 − 1 x 2 ( x + 1 x ) ( x + 1 x ) 2 − 2 d x x + 1 x = t ⇒ 1 − 1 x 2 d x = d t \displaystyle \begin{aligned} & \Rightarrow-\int_0^1 \frac{1-\frac{1}{x^2}}{\left(x+\frac{1}{x}\right) \sqrt{\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2}} d x \\ & x+\frac{1}{x}=t \Rightarrow 1-\frac{1}{x^2} d x=d t\end{aligned} ⇒ − ∫ 0 1 ( x + x 1 ) ( x + x 1 ) 2 − 2 1 − x 2 1 d x x + x 1 = t ⇒ 1 − x 2 1 d x = d t ⇒ − ∫ ∞ 2 d t t t 2 − 2 ⇒ − ∫ ∞ 2 t d t t 2 t 2 − 2 take t 2 − 2 = α 2 t d t = α d α ⇒ − ∫ ∞ 2 α d α ( α 2 + 2 ) α ⇒ − ∫ ∞ 2 d α α 2 + 2 \displaystyle \begin{aligned} & \Rightarrow-\int_{\infty}^2 \frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t} \sqrt{\mathrm{t}^2-2}} \\ & \Rightarrow-\int_{\infty}^2 \frac{\mathrm{tdt}}{\mathrm{t}^2 \sqrt{\mathrm{t}^2-2}} \\ & \text { take } \mathrm{t}^2-2=\alpha^2 \\ & \mathrm{tdt}=\alpha \mathrm{d} \alpha \\ & \Rightarrow-\int_{\infty}^{\sqrt{2}} \frac{\alpha \mathrm{d} \alpha}{\left(\alpha^2+2\right) \alpha} \\ & \Rightarrow-\int_{\infty}^{\sqrt{2}} \frac{\mathrm{d} \alpha}{\alpha^2+2}\end{aligned} ⇒ − ∫ ∞ 2 t t 2 − 2 dt ⇒ − ∫ ∞ 2 t 2 t 2 − 2 tdt take t 2 − 2 = α 2 tdt = α d α ⇒ − ∫ ∞ 2 ( α 2 + 2 ) α α d α ⇒ − ∫ ∞ 2 α 2 + 2 d α
So K = 4 2 \mathrm{K}=4 \sqrt{2} K = 4 2 K 2 = 32 \mathrm{K}^2=32 K 2 = 32