JEE Main 2024 — Mathematics Calculus

Given,

$$f(x)=\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+2}$$f(x)=4x+24x​

$$\Rightarrow f(1-x)=\frac{{4}^{1-x}}{{4}^{1-x}+2}$$⇒f(1−x)=41−x+241−x​

$$\Rightarrow f(1-x)=\frac{4}{4+2\cdot {4}^{x}}=\frac{2}{2+{4}^{x}}$$⇒f(1−x)=4+2⋅4x4​=2+4x2​

$$\Rightarrow f(x)+f(1-x)=1$$⇒f(x)+f(1−x)=1

Now, solving $\displaystyle M=\int _{f(a)}^{f(1-a)}x\cdot {\mathrm{sin}}^{4}(x(1-x))dx$M=∫f(a)f(1−a)​x⋅sin4(x(1−x))dx

Now, using the formula $\displaystyle {\int }_{a}^{b}f(x)dx={\int }_{a}^{b}f(a+b-x)dx$∫ab​f(x)dx=∫ab​f(a+b−x)dx we get,

$$\Rightarrow M=\int _{f(a)}^{f(1-a)}(f(a)+f(1-a)-x)\cdot {\mathrm{sin}}^{4}(f(a)+f(1-a)-x)(1-(f(a)+f(1-a)-x))dx$$⇒M=∫f(a)f(1−a)​(f(a)+f(1−a)−x)⋅sin4(f(a)+f(1−a)−x)(1−(f(a)+f(1−a)−x))dx

$$\Rightarrow M=\int _{f(a)}^{f(1-a)}(1-x)\cdot {\mathrm{sin}}^{4}((1-x)x)dx$$⇒M=∫f(a)f(1−a)​(1−x)⋅sin4((1−x)x)dx

$$\Rightarrow M=\int _{f(a)}^{f(1-a)}{\mathrm{sin}}^{4}((1-x)x)dx-\int _{f(a)}^{f(1-a)}x\cdot {\mathrm{sin}}^{4}((1-x)x)dx$$⇒M=∫f(a)f(1−a)​sin4((1−x)x)dx−∫f(a)f(1−a)​x⋅sin4((1−x)x)dx

$$\Rightarrow M=N-M$$⇒M=N−M

$$\Rightarrow 2M=N$$⇒2M=N

So, on comparing we get, $\alpha =2,\beta =1$α=2,β=1

Hence, ${\alpha }^{2}+{\beta }^{2}={2}^{2}+{1}^{2}=5$α2+β2=22+12=5