JEE Main 2024 — Mathematics Calculus

Let, $\displaystyle I={\int }_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{3+x}+\sqrt{1+x}}dx$I=∫01​3+x​+1+x​1​dx

$$\Rightarrow I={\int }_{0}^{1}\frac{\sqrt{3+x}-\sqrt{1+x}}{(3+x)-(1+x)}dx$$⇒I=∫01​(3+x)−(1+x)3+x​−1+x​​dx

$$\Rightarrow I=\frac{1}{2}[{\int }_{0}^{1}\sqrt{3+x}dx-{\int }_{0}^{1}(\sqrt{1+x})dx]$$⇒I=21​[∫01​3+x​dx−∫01​(1+x​)dx]

$$\Rightarrow I=\frac{1}{2}{[\frac{2(3+x{)}^{\frac{3}{2}}}{3}-\frac{2(1+x{)}^{\frac{3}{2}}}{3}]}_{0}^{1}$$⇒I=21​[32(3+x)23​​−32(1+x)23​​]01​

$$\Rightarrow I=\frac{1}{2}{[\frac{2(3+1{)}^{\frac{3}{2}}}{3}-\frac{2(1+1{)}^{\frac{3}{2}}}{3}]-[\frac{2(3{)}^{\frac{3}{2}}}{3}-\frac{2(1{)}^{\frac{3}{2}}}{3}]}$$⇒I=21​[32(3+1)23​​−32(1+1)23​​]−[32(3)23​​−32(1)23​​]

$$\Rightarrow I=\frac{1}{2}{\frac{2\times 8}{3}-\frac{4\sqrt{2}}{3}-\frac{2\times 3\sqrt{3}}{3}+\frac{2}{3}}$$⇒I=21​32×8​−342​​−32×33​​+32​

$$\Rightarrow I=\frac{1}{2}{6-\frac{4\sqrt{2}}{3}-2\sqrt{3}}$$⇒I=21​6−342​​−23​

$$\Rightarrow I=3-\sqrt{3}-\frac{2}{3}\sqrt{2}=a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}$$⇒I=3−3​−32​2​=a+b2​+c3​

$$\Rightarrow a=3,b=-\frac{2}{3},c=-1$$⇒a=3,b=−32​,c=−1

$$\Rightarrow 2a+3b-4c=6-2+4=8$$⇒2a+3b−4c=6−2+4=8