Let f:R→ R be a differentiable function satisfying f^'(3)+f^'(2)=0. Then undersetx→ 0 lim ( 1+f(3+x)-f(3) 1+f(2-x)-f(2))^ 1 x is equal to

This limit is ${1}^{\infty }$1∞ form

$$\therefore \underset{x\rightarrow 0}{lim}{(\frac{1+f(3+x)-f(3)}{1+f(2-x)-f(2)})}^{\frac{1}{x}}={e}^{\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{1}{x}(\frac{1+f(3+x)-f(3)}{1+f(2-x)-f(2)}-1)}$$∴x→0lim​(1+f(2−x)−f(2)1+f(3+x)−f(3)​)x1​=ex→0lim​x1​(1+f(2−x)−f(2)1+f(3+x)−f(3)​−1)

$$={e}^{\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{1}{x}(\frac{f(3+x)-f(3)-f(2-x)+f(2)}{1+f(2-x)-f(2)})}(\frac{0}{0} form)$$=ex→0lim​x1​(1+f(2−x)−f(2)f(3+x)−f(3)−f(2−x)+f(2)​)(00​form)

$$={e}^{\underset{x\rightarrow 0}{lim} \frac{{f}^{'}(3+x)+{f}^{'}(2-x)}{x(-{f}^{'}(2-x))+(1+f(2-x)-f(2))}}$$=ex→0lim​x(−f′(2−x))+(1+f(2−x)−f(2))f′(3+x)+f′(2−x)​

$={e}^{0}=1$=e0=1.