We have, I=∫sin2xsin25xdx
=∫sin2xsin(2x+2x)dx
Using sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
=∫sin2xsin2xcos2x+cos2xsin2xdx
=∫(sin2x(2sinxcosx)cos2x+cos2x)dx
=∫(sin2x2(2sin(2x)cos(2x))cosxcos(2x)+cos2x)dx
=∫(4cos2(2x)cosx+cos2x)dx
Using cos2x=2cos2x−1⇒2cos2x=1+cos2x
=∫(2(1+cosx)cosx+cos2x)dx
=∫(2cosx+2cos2x+cos2x)dx
=∫(2cosx+(1+cos2x)+cos2x)dx
=∫(2cosx+2cos2x+1)dx
=2sinx+sin2x+x+c, where c is the constant of integration.