JEE Main 2016 — Mathematics Calculus

$$\frac{dy}{dx}+\frac{y}{2}\mathrm{sec}⁡x=\frac{\mathrm{tan}⁡x}{2y}$$dxdy​+2y​sec⁡x=2ytan⁡x​

$$2y\frac{dy}{dx}+{y}^{2}\mathrm{sec}⁡x=\mathrm{tan}⁡x$$2ydxdy​+y2sec⁡x=tan⁡x

Put ${y}^{2}=t \Rightarrow 2y\frac{dy}{dx}=\frac{dt}{dx}$y2=t⇒2ydxdy​=dxdt​

$$\frac{dt}{dx}+t\mathrm{sec}⁡x=\mathrm{tan}⁡x$$dxdt​+tsec⁡x=tan⁡x

$$I.F={e}^{\int \mathrm{sec}⁡xdx}={e}^{\mathrm{ln}(\mathrm{sec}⁡x+tanx)}=\mathrm{sec}⁡x+\mathrm{tan}⁡x$$I.F=e∫sec⁡xdx=eln(sec⁡x+tanx)=sec⁡x+tan⁡x

$$\Rightarrow t(\mathrm{sec}⁡x+\mathrm{tan}⁡x)=\int (\mathrm{sec}⁡x+\mathrm{tan}⁡x)\mathrm{tan}⁡xdx$$⇒t(sec⁡x+tan⁡x)=∫(sec⁡x+tan⁡x)tan⁡xdx

$$\Rightarrow t(\mathrm{sec}⁡x+\mathrm{tan}⁡x)=\int (\mathrm{sec}⁡x\mathrm{tan}⁡x)dx+\int {\mathrm{tan}}^{2}⁡xdx$$⇒t(sec⁡x+tan⁡x)=∫(sec⁡xtan⁡x)dx+∫tan2⁡xdx

$$\Rightarrow {y}^{2}(\mathrm{sec}⁡x+\mathrm{tan}⁡x)=\mathrm{sec}⁡x+\mathrm{tan}⁡x-x+c$$⇒y2(sec⁡x+tan⁡x)=sec⁡x+tan⁡x−x+c

$$y(0)=1 \Rightarrow c=0$$y(0)=1⇒c=0

$$\Rightarrow {y}^{2}=1-\frac{x}{\mathrm{sec}⁡x+\mathrm{tan}⁡x}$$⇒y2=1−sec⁡x+tan⁡xx​