If A, B, and ( adj ( A^-1 )+ adj ( B^-1 ) ) are non-singular matrices of same order, then the inverse of A ( adj ( A^-1 )+ adj ( B^-1 ) )^-1 ~B, is…

$$\begin{aligned} & {\left[\mathrm{A}\left(\operatorname{adj}\left(\mathrm{A}^{-1}\right)+\operatorname{adj}\left(\mathrm{B}^{-1}\right)\right)^{-1} \cdot \mathrm{~B}\right]^{-1}} \\ & \Rightarrow \mathrm{~B}^{-1} \cdot\left(\operatorname{adj}\left(\mathrm{~A}^{-1}\right)+\operatorname{adj}\left(\mathrm{B}^{-1}\right)\right) \cdot \mathrm{A}^{-1} \\ & \Rightarrow \mathrm{~B}^{-1} \operatorname{adj}\left(\mathrm{~A}^{-1}\right) \mathrm{A}^{-1}+\mathrm{B}^{-1}\left(\operatorname{adj}\left(\mathrm{~B}^{-1}\right)\right) \cdot \mathrm{A}^{-1} \\ & \Rightarrow \mathrm{~B}^{-1}\left|\mathrm{~A}^{-1}\right| \mathrm{I}+\left|\mathrm{B}^{-1}\right| \mathrm{IA}^{-1} \\ & \Rightarrow \frac{\mathrm{~B}^{-1}}{|\mathrm{~A}|}+\frac{\mathrm{A}^{-1}}{|\mathrm{~B}|} \\ & \Rightarrow \frac{\operatorname{adjB}}{|\mathrm{B}||\mathrm{A}|}+\frac{\operatorname{adj}}{|\mathrm{A}||\mathrm{B}|} \\ & =\frac{1}{|\mathrm{~A}||\mathrm{B}|}(\operatorname{adjB}+\operatorname{adj} \mathrm{A})\end{aligned}$$​[A(adj(A−1)+adj(B−1))−1⋅ B]−1⇒ B−1⋅(adj( A−1)+adj(B−1))⋅A−1⇒ B−1adj( A−1)A−1+B−1(adj( B−1))⋅A−1⇒ B−1​ A−1​I+​B−1​IA−1⇒∣ A∣ B−1​+∣ B∣A−1​⇒∣B∣∣A∣adjB​+∣A∣∣B∣adj​=∣ A∣∣B∣1​(adjB+adjA)​