If f(x)=| … |, then undersetx→ 0 lim⁡ f^'(x) x

Given $f(x)=|\begin{matrix}\mathrm{cos}x & x & 1 \\ 2\mathrm{sin}x & {x}^{2} & 2x \\ \mathrm{tan}x & x & 1\end{matrix}|$f(x)=∣cosx2sinxtanx​xx2x​12x1​∣

$$=\mathrm{cos}x({x}^{2}-2{x}^{2})-2\mathrm{sin}x(x-x)+\mathrm{tan}x(2{x}^{2}-{x}^{2})$$=cosx(x2−2x2)−2sinx(x−x)+tanx(2x2−x2)

$$=-{x}^{2}\mathrm{cos}x+\mathrm{tan}x.{x}^{2}$$=−x2cosx+tanx.x2

$$={x}^{2}(\mathrm{tan}x-\mathrm{cos}x)$$=x2(tanx−cosx)

$$\Rightarrow \underset{x\rightarrow 0}{\mathrm{Lim}}\frac{{f}^{'}(x)}{x}=\underset{x\rightarrow 0}{\mathrm{Lim}}\frac{2x(\mathrm{tan}x-\mathrm{cos}x)+{x}^{2}({\mathrm{sec}}^{2}x+\mathrm{sin}x)}{x}$$⇒x→0Lim​xf′(x)​=x→0Lim​x2x(tanx−cosx)+x2(sec2x+sinx)​

$$=\underset{x\rightarrow 0}{\mathrm{Lim}}2(\mathrm{tan}x-\mathrm{cos}x)+x({\mathrm{sec}}^{2}x+\mathrm{sin}x)$$=x→0Lim​2(tanx−cosx)+x(sec2x+sinx)

$$=-2$$=−2