If x=f(y) is the solution of the differential equation (1+y^2 )+ (x-2 e^tan ^-1 y ) d y ~d x=0, y ∈ (- π 2, π 2 ) with f(0)=1, then f ( 1 √3 ) is…

$$\begin{aligned} & \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dy}}+\frac{\mathrm{x}}{1+\mathrm{y}^2}=\frac{2 \mathrm{e}^{\tan ^{-1} \mathrm{y}}}{1+\mathrm{y}^2} \\ & \text { I.F. }=\mathrm{e}^{\tan ^{-1} \mathrm{y}} \\ & \mathrm{xe}^{\tan ^{-1} \mathrm{y}}=\int \frac{2\left(\mathrm{e}^{\tan ^{-1} \mathrm{y}}\right)^2 \mathrm{dy}}{1+\mathrm{y}^2} \\ & \text { Put } \tan ^{-1} \mathrm{y}=\mathrm{t}, \frac{\mathrm{dy}}{1+\mathrm{y}^2}=\mathrm{dt} \\ & \mathrm{xe}^{\tan ^{-1} \mathrm{y}}=\int 2 \mathrm{e}^{2 \mathrm{t}} \mathrm{dt} \\ & \mathrm{xe}^{\tan ^{-1} \mathrm{y}}=\mathrm{e}^{2 \tan ^{-1} \mathrm{y}}+\mathrm{c} \\ & \mathrm{x}=\mathrm{e}^{\tan ^{-1} \mathrm{y}}+\mathrm{ce}^{-\tan ^{-1} \mathrm{y}} \\ & \because \mathrm{y}=0, \mathrm{x}=1 \\ & 1=1+\mathrm{c} \Rightarrow \mathrm{c}=0 \\ & \mathrm{y}=\frac{1}{\sqrt{3}}, \mathrm{x}=\mathrm{e}^{\pi / 6}\end{aligned}$$​dydx​+1+y2x​=1+y22etan−1y​ I.F. =etan−1yxetan−1y=∫1+y22(etan−1y)2dy​ Put tan−1y=t,1+y2dy​=dtxetan−1y=∫2e2tdtxetan−1y=e2tan−1y+cx=etan−1y+ce−tan−1y∵y=0,x=11=1+c⇒c=0y=3​1​,x=eπ/6​