JEE Main 2024 — Mathematics Trigonometry

Given: ${\mathrm{sin}}^{-1}\alpha +{\mathrm{sin}}^{-1}\beta +{\mathrm{sin}}^{-1}\gamma =\pi$sin−1α+sin−1β+sin−1γ=π

Let, ${\mathrm{sin}}^{-1}\alpha =A,{\mathrm{sin}}^{-1}\beta =B,{\mathrm{sin}}^{-1}\gamma =C$sin−1α=A,sin−1β=B,sin−1γ=C

$$\Rightarrow A+B+C=\pi$$⇒A+B+C=π

Also, $\alpha =\mathrm{sin}A,\beta =\mathrm{sin}B,\gamma =\mathrm{sin}C...(i)$α=sinA,β=sinB,γ=sinC...(i)

It is given that, ${(\alpha +\beta )}^{2}-{\gamma }^{2}=3\alpha \beta$(α+β)2−γ2=3αβ.

$$\Rightarrow {\alpha }^{2}+{\beta }^{2}-{\gamma }^{2}=\alpha \beta$$⇒α2+β2−γ2=αβ

$$\Rightarrow {\mathrm{sin}}^{2}A+{\mathrm{sin}}^{2}B-{\mathrm{sin}}^{2}C=\mathrm{sin}A\mathrm{sin}B$$⇒sin2A+sin2B−sin2C=sinAsinB

$$\Rightarrow {\mathrm{sin}}^{2}A+\mathrm{sin}(B+C)\mathrm{sin}(B-C)=\mathrm{sin}A\mathrm{sin}B$$⇒sin2A+sin(B+C)sin(B−C)=sinAsinB

$$\Rightarrow {\mathrm{sin}}^{2}A+\mathrm{sin}(\pi -A)\mathrm{sin}(B-C)=\mathrm{sin}A\mathrm{sin}B$$⇒sin2A+sin(π−A)sin(B−C)=sinAsinB

$$\Rightarrow {\mathrm{sin}}^{2}A+\mathrm{sin}A\mathrm{sin}(B-C)=\mathrm{sin}A\mathrm{sin}B$$⇒sin2A+sinAsin(B−C)=sinAsinB

$$\Rightarrow \mathrm{sin}A[\mathrm{sin}A+\mathrm{sin}(B-C)]=\mathrm{sin}A\mathrm{sin}B$$⇒sinA[sinA+sin(B−C)]=sinAsinB

$$\Rightarrow \mathrm{sin}A[\mathrm{sin}A+\mathrm{sin}(B-C)]-\mathrm{sin}A\mathrm{sin}B=0$$⇒sinA[sinA+sin(B−C)]−sinAsinB=0

$$\Rightarrow \mathrm{sin}A[\mathrm{sin}A+\mathrm{sin}(B-C)-\mathrm{sin}B]=0$$⇒sinA[sinA+sin(B−C)−sinB]=0

$$\Rightarrow \mathrm{sin}A[\mathrm{sin}(B+C)+\mathrm{sin}(B-C)-\mathrm{sin}B]=0$$⇒sinA[sin(B+C)+sin(B−C)−sinB]=0

$$\Rightarrow \mathrm{sin}A[2\mathrm{sin}B\mathrm{cos}C-\mathrm{sin}B]=0$$⇒sinA[2sinBcosC−sinB]=0

$$\Rightarrow \mathrm{sin}A\mathrm{sin}B[2\mathrm{cos}C-1]=0$$⇒sinAsinB[2cosC−1]=0

$$\Rightarrow \mathrm{sin}A=0\text{or}\mathrm{sin}B=0\text{or}\mathrm{cos}C=\frac{1}{2}$$⇒sinA=0orsinB=0orcosC=21​

It is given that, $\alpha ,\beta ,\gamma \neq 0$α,β,γ=0

$$\Rightarrow \mathrm{cos}C=\frac{1}{2}$$⇒cosC=21​

$$\Rightarrow \mathrm{sin}C=\frac{\sqrt{3}}{2}$$⇒sinC=23​​

$$\Rightarrow \gamma =\frac{\sqrt{3}}{2}$$⇒γ=23​​