If S is the sum of the first 10 terms of the series, tan^-1( 1 3)+ tan^-1( 1 7)+ tan^-1( 1 13)+ tan^-1( 1 21)+… then tan(S) is equal to :

$S={\mathrm{tan}}^{-1}\frac{1}{3}+{\mathrm{tan}}^{-1}\frac{1}{7}+{\mathrm{tan}}^{-1}\frac{1}{13}+\ldots \ldots$S=tan−131​+tan−171​+tan−1131​+…… up to$10$10 terms.

$$S={\mathrm{tan}}^{-1}(\frac{2-1}{1+1.2})+{\mathrm{tan}}^{-1}(\frac{3-2}{1+2.3})+{\mathrm{tan}}^{-1}(\frac{4-3}{1+3.4})+\ldots \ldots +{\mathrm{tan}}^{-1}(\frac{11-10}{1+11.10})$$S=tan−1(1+1.22−1​)+tan−1(1+2.33−2​)+tan−1(1+3.44−3​)+……+tan−1(1+11.1011−10​)

$$\Rightarrow S=({\mathrm{tan}}^{-1}2-{\mathrm{tan}}^{-1}1)+({\mathrm{tan}}^{-1}3-{\mathrm{tan}}^{-1}2)+\ldots \ldots +({\mathrm{tan}}^{-1}11-{\mathrm{tan}}^{-1}10)$$⇒S=(tan−12−tan−11)+(tan−13−tan−12)+……+(tan−111−tan−110)

$$\Rightarrow S={\mathrm{tan}}^{-1}11-{\mathrm{tan}}^{-1}1$$⇒S=tan−111−tan−11

$$\Rightarrow S={\mathrm{tan}}^{-1}(\frac{11-1}{1+11\cdot 1})={\mathrm{tan}}^{-1}(\frac{10}{12})$$⇒S=tan−1(1+11⋅111−1​)=tan−1(1210​)

$$\therefore \mathrm{tan}(S)=\frac{5}{6}$$∴tan(S)=65​